معادلهٔ سیاله؛
قبل از حل، امکان وجود جواب را بسنج

نوع جواب خواسته‌شده را مشخص کن

صورت سؤال ممکن است همهٔ جواب‌های صحیح، جواب‌های نامنفی، مثبت یا جواب در یک بازه را بخواهد. محدودیت را کنار معادله بنویس؛ حل عمومی تنها مرحلهٔ میانی است.

شرط وجود را با ب.م.م بررسی کن

معادلهٔ ax+by=c زمانی جواب صحیح دارد که d=ب.م.م(a,b) عدد c را تقسیم کند. اگر این شرط برقرار نباشد، جست‌وجوی عددی ادامه نده و نبود جواب صحیح را با همین دلیل بنویس.

معادله را با d ساده کن

اگر d بر c بخش‌پذیر است، هر سه ضریب را بر d تقسیم کن. در معادلهٔ ساده‌شده ضرایب x و y نسبت به هم اول‌اند و ساخت جواب عمومی روشن‌تر می‌شود.

یک جواب خاص را منظم پیدا کن

می‌توان از الگوریتم گستردهٔ اقلیدس برای نوشتن d به‌صورت ترکیب خطی a و b استفاده کرد و سپس ضرایب را در c/d ضرب کرد. در عددهای کوچک، آزمون باقیمانده‌ای نیز ممکن است؛ اما جواب باید کنترل شود.

نمونهٔ شرط و جواب خاص

برای 6x+9y=3، ب.م.م ضرایب ۳ و مقسوم‌علیه سمت راست است. با تقسیم بر ۳ به 2x+3y=1 می‌رسیم و (x,y)=(-1,1) یک جواب خاص است.

از جواب خاص، خانوادهٔ کامل بساز

اگر (x₀,y₀) جواب خاص ax+by=c و d ب.م.م ضرایب باشد، تغییر یکی از متغیرها با مضرب b/d و دیگری با مضرب مخالف a/d معادله را ثابت نگه می‌دارد. پارامتر k باید صحیح باشد.

علامت دو تغییر را با جایگذاری کنترل کن

اگر به x مضربی اضافه می‌کنی، تغییر y باید اثر آن را خنثی کند. به‌جای حفظ علامت‌ها، خانواده را در ax+by جای‌گذاری کن و حذف جمله‌های k را ببین.

محدودیت مثبت یا نامنفی را به بازهٔ k تبدیل کن

عبارت x(k) و y(k) را جدا بزرگ‌تر از صفر یا بزرگ‌ترمساوی صفر قرار بده. اشتراک دو بازهٔ k را پیدا و فقط عددهای صحیح آن را نگه دار.

مسئلهٔ شمارشی را به معادله ترجمه کن

در سؤال بسته‌بندی، سکه یا تعداد اشیا، x و y شمارش‌اند و معمولاً نامنفی. واحد هر ضریب را مشخص کن و شرط کل را بساز. پس از حل، جواب‌های منفی را به‌دلیل معنای مسئله حذف کن.

کنترل نهایی با سه آزمون

هر جواب باید صحیح باشد، معادلهٔ اصلی را برقرار کند و محدودیت متن را نیز داشته باشد. برای ترکیب خطی از الگوریتم اقلیدس و برای پیمانه از هم‌نهشتی کمک بگیر.