نمونه سؤال الگوریتم اقلیدس؛
آخرین باقیماندهٔ ناصفر پاسخ است

۲۵۲=۲×۱۰۵+۴۲
۱۰۵=۲×۴۲+۲۱
۴۲=۲×۲۱+۰
آخرین باقیماندهٔ ناصفر ۲۱ است.

۶۶۲=۱×۴۱۴+۲۴۸
۴۱۴=۱×۲۴۸+۱۶۶
۲۴۸=۱×۱۶۶+۸۲
۱۶۶=۲×۸۲+۲
۸۲=۴۱×۲+۰
پس ب.م.م برابر ۲ است.

۶۴=۱×۳۵+۲۹
۳۵=۱×۲۹+۶
۲۹=۴×۶+۵
۶=۱×۵+۱
۵=۵×۱+۰
ب.م.م ۱ است؛ پس نسبت به هم اول‌اند.

۱۴۴=۴×۳۶+۰. چون تقسیم در همان سطر بدون باقیمانده تمام می‌شود، آخرین مقسوم‌علیه یعنی ۳۶ ب.م.م است.

از زنجیره: ۲۱=۱۰۵−۲×۴۲ و ۴۲=۲۵۲−۲×۱۰۵.
پس ۲۱=۱۰۵−۲(۲۵۲−۲×۱۰۵)=۵×۱۰۵−۲×۲۵۲.

۴۳=۲×۱۷+۹؛ ۱۷=۱×۹+۸؛ ۹=۱×۸+۱.
۱=۹−۸=۹−(۱۷−۹)=۲×۹−۱۷=۲(۴۳−۲×۱۷)−۱۷=۲×۴۳−۵×۱۷.

رابطهٔ ۱=۲×۴۳−۵×۱۷ نشان می‌دهد ضریب ۱۷ برابر −۵ است. باقیماندهٔ استاندارد −۵ به پیمانهٔ ۴۳ برابر ۳۸ است؛ پس ۱۷×۳۸≡۱.

ب.م.م ۸۴ و ۳۰ برابر ۶ است. از رابطهٔ ب.م.م×ک.م.م=حاصل‌ضرب دو عدد، ک.م.م=(۸۴×۳۰)÷۶=۴۲۰.

ب.م.م ۸۴ و ۳۰ برابر ۶ و مقسوم‌علیه طرف راست است؛ پس جواب دارد. ۸۴=۲×۳۰+۲۴ و ۳۰=۱×۲۴+۶، بنابراین ۶=۳۰−(۸۴−۲×۳۰)=−۸۴+۳×۳۰؛ یک جواب x=−۱ و y=۳ است.

خیر. هر ترکیب خطی ۸۴ و ۳۰ مضربی از ب.م.م آن‌ها یعنی ۶ است، اما ۵ بر ۶ بخش‌پذیر نیست.

در مرحلهٔ بعد باید مقسوم‌علیه سطر قبل بر باقیماندهٔ همان سطر تقسیم شود. حذف این جابه‌جایی، زنجیرهٔ اقلیدس را می‌شکند.

بررسی می‌کنیم عدد به‌دست‌آمده هر دو عدد اولیه را تقسیم کند. سپس مطمئن می‌شویم هیچ مقسوم‌علیه مشترک بزرگ‌تری وجود ندارد؛ زنجیرهٔ تقسیم یا تجزیهٔ محدود می‌تواند این بخش را تأیید کند.