روش اجرای آزمونک
پیش از استفاده از فرمول، دو تفاضل و دو نسبت پیاپی را آزمایش کن. سپس دادههای a₁، d یا r و شماره جمله را جدا بنویس. آموزش پایه در راهنمای دنباله حسابی و هندسی آمده است.
۱۰ تمرین تشریحی
سؤال 1
دنباله 5، 8، 11، 14، ... از چه نوع است و جمله عمومی آن چیست؟
پاسخ تشریحی
تفاضل جملههای پیاپی 3 است، پس حسابی با a₁=5 و d=3 است. aₙ=5+(n−1)3، یعنی aₙ=3n+2.
سؤال 2
جمله بیستم دنباله حسابی با a₁=−2 و d=4 را بیابید.
پاسخ تشریحی
a₂₀=−2+(20−1)×4=−2+76=74.
سؤال 3
در دنباله حسابی، a₄=11 و a₉=26 است. قدر نسبت تفاضلی و جمله اول را بیابید.
پاسخ تشریحی
a₉−a₄=5d=15، پس d=3. سپس a₄=a₁+3d؛ بنابراین a₁=11−9=2.
سؤال 4
بین 4 و 16 سه واسطه حسابی قرار دهید.
پاسخ تشریحی
با سه واسطه، پنج جمله داریم و چهار فاصله مساوی: d=(16−4)/4=3؛ دنباله 4، 7، 10، 13، 16 است.
سؤال 5
مجموع 15 جمله اول دنباله 2، 5، 8، ... را بیابید.
پاسخ تشریحی
a₁₅=2+14×3=44. پس S₁₅=15(2+44)/2=345.
سؤال 6
دنباله 3، 6، 12، 24، ... از چه نوع است و جمله عمومی آن چیست؟
پاسخ تشریحی
نسبت جملههای پیاپی 2 است، پس هندسی با a₁=3 و r=2؛ بنابراین aₙ=3×2^(n−1).
سؤال 7
جمله ششم دنباله هندسی با a₁=64 و r=1/2 را بیابید.
پاسخ تشریحی
a₆=64×(1/2)^5=64/32=2.
سؤال 8
در دنباله هندسی، a₂=6 و a₅=162 است. r مثبت است؛ r و a₁ را بیابید.
پاسخ تشریحی
a₅/a₂=r³=162/6=27، پس r=3 و a₁=6/3=2.
سؤال 9
آیا دنباله 1، −2، 4، −8، ... هندسی است؟ توضیح دهید.
پاسخ تشریحی
بله؛ نسبت هر جمله به جمله قبل همواره −2 است. تغییر علامت مانع هندسیبودن نیست.
سؤال 10
برای تشخیص حسابی یا هندسی بودن یک دنباله چه روشی مطمئن است؟
پاسخ تشریحی
چند تفاضل پیاپی و چند نسبت پیاپی را حساب کن. تفاضل ثابت نشانه حسابی و نسبت ثابتِ تعریفشده نشانه هندسی است؛ مشاهده ظاهری چند جمله کافی نیست.
چکلیست خودتصحیح
- نوع دنباله را با تفاضل یا نسبت ثابت تشخیص دادم.
- n−1 را در فرمول جمله عمومی فراموش نکردم.
- علامت قدر نسبت را حفظ کردم.
- شماره جمله را با مقدار جمله اشتباه نگرفتم.
- پاسخ را با چند جمله اول کنترل کردم.