روش اجرای آزمونک
یک سمت را تغییر بده، همانی پایه را مشخص کن و دامنهٔ عبارت اولیه را نگه دار. آموزش کامل در راهنمای همانیهای مثلثاتی آمده است.
۱۰ تمرین سادهسازی و استدلال
سؤال 1
اگر sin x=3/5 و x در ربع اول باشد، cos x و tan x را بیاب.
پاسخ تشریحی
از sin²x+cos²x=1 داریم cos²x=16/25. در ربع اول علامت مثبت است، پس cos x=4/5 و tan x=3/4.
سؤال 2
عبارت sin²x+cos²x+tan x·cos x را ساده کن.
پاسخ تشریحی
دو جملهٔ نخست 1 و tan x·cos x=sin x است؛ پس پاسخ 1+sin x، در نقاطی است که tan تعریف شده باشد.
سؤال 3
(1−sin²x)/cos x را ساده کن.
پاسخ تشریحی
صورت برابر cos²x است. برای cos x≠0، کسر به cos x ساده میشود.
سؤال 4
نشان بده (1−cos²x)/sin²x=1.
پاسخ تشریحی
از همانی اصلی 1−cos²x=sin²x؛ بنابراین در دامنهٔ sin x≠0، نسبت برابر 1 است.
سؤال 5
عبارت tan x/sin x را ساده کن.
پاسخ تشریحی
tan x=sin x/cos x؛ با تقسیم بر sin x، پاسخ 1/cos x است؛ دامنهٔ عبارت اصلی باید حفظ شود.
سؤال 6
1+tan²x را بر حسب cos x بنویس.
پاسخ تشریحی
با تقسیم sin²x+cos²x=1 بر cos²x، داریم tan²x+1=1/cos²x.
سؤال 7
(sin x+cos x)² را بسط بده.
پاسخ تشریحی
با مربع دوجملهای: sin²x+2sin x cos x+cos²x=1+2sin x cos x.
سؤال 8
اگر tan x=−2 و cos x>0 باشد، sin x چه علامتی دارد؟
پاسخ تشریحی
tan حاصل نسبت sin به cos است. وقتی نسبت منفی و cos مثبت باشد، sin x منفی است.
سؤال 9
دانشآموز از sin²x+cos²x=1 نتیجه میگیرد sin x+cos x=1. خطا چیست؟
پاسخ تشریحی
حذف توانها مجاز نیست. برای نمونه در x=45°، مجموع sin و cos برابر √2 است؛ همانی فقط دربارهٔ مجموع مربعهاست.
سؤال 10
چرا پس از سادهسازی (sin x·cos x)/sin x به cos x باید شرطی را نگه داشت؟
پاسخ تشریحی
در عبارت اولیه تقسیم بر sin x انجام شده و sin x باید ناصفر باشد. عبارت سادهشده در نقاط بیشتری تعریف میشود، اما برابری فقط برای sin x≠0 معتبر است.
چکلیست خودتصحیح
- همانی پایه را پیش از جایگذاری نوشتم.
- علامت نسبتها را از ربع تعیین کردم.
- فقط یک سمت همانی را تغییر دادم.
- عامل مشترک و مخرج را درست ساده کردم.
- محدودیت دامنهٔ عبارت اولیه را حفظ کردم.