تعریف عملی
a≡b (mod m) ⇔ m | (a−b) | باقیماندهٔ استاندارد یکی از ۰ تا m−۱ است.
آموزش کامل در راهنمای همنهشتی پیمانهای قرار دارد.
بخش اول؛ تعریف و باقیمانده
سؤال ۱
درستی ۳۸≡۸ (mod ۱۰) را با تعریف بررسی کن.
پاسخ تشریحی
تفاضل ۳۸−۸=۳۰ است و ۳۰ بر ۱۰ بخشپذیر است؛ پس همنهشتی درست است.
سؤال ۲
باقیماندهٔ استاندارد −۱۷ به پیمانهٔ ۵ چیست؟
پاسخ تشریحی
با افزودن ۲۰، عدد ۳ به دست میآید و در بازهٔ ۰ تا ۴ است؛ پس −۱۷≡۳ (mod ۵).
سؤال ۳
آیا ۲۳ و −۵ به پیمانهٔ ۷ همنهشتاند؟
پاسخ تشریحی
۲۳−(−۵)=۲۸ و ۲۸ مضرب ۷ است؛ بنابراین همنهشتاند. هر دو باقیماندهٔ استاندارد ۲ دارند.
بخش دوم؛ جمع و ضرب
سؤال ۴
باقیماندهٔ ۴۷+۶۸ را به پیمانهٔ ۹ پیدا کن.
پاسخ تشریحی
۴۷≡۲ و ۶۸≡۵؛ پس مجموع ≡۲+۵=۷ (mod ۹).
سؤال ۵
باقیماندهٔ ۲۳×۱۷ را به پیمانهٔ ۵ حساب کن.
پاسخ تشریحی
۲۳≡۳ و ۱۷≡۲؛ پس حاصل ≡۳×۲=۶≡۱ (mod ۵).
سؤال ۶
اگر a≡۴ و b≡۶ (mod ۷)، باقیماندهٔ ۲a+۳b چیست؟
پاسخ تشریحی
۲×۴+۳×۶=۸+۱۸=۲۶ و ۲۶≡۵ (mod ۷).
بخش سوم؛ توان و چرخه
سؤال ۷
۲¹⁰ را به پیمانهٔ ۷ محاسبه کن.
پاسخ تشریحی
۲³=۸≡۱. پس ۲¹⁰=۲⁹×۲=(۲³)³×۲≡۱×۲=۲ (mod ۷).
سؤال ۸
رقم یکان ۷²³ را پیدا کن.
پاسخ تشریحی
باقیماندههای توان ۷ به پیمانهٔ ۱۰ چرخهٔ ۷،۹،۳،۱ با طول ۴ دارند. ۲۳ باقیماندهٔ ۳ در تقسیم بر ۴ دارد؛ عضو سوم چرخه ۳ است.
بخش چهارم؛ وارون و معادله
سؤال ۹
وارون ۵ به پیمانهٔ ۱۲ را پیدا کن.
پاسخ تشریحی
۵×۵=۲۵≡۱ (mod ۱۲)، پس وارون ۵ برابر ۵ است. وجود وارون با ب.م.م(۵،۱۲)=۱ سازگار است.
سؤال ۱۰
معادلهٔ ۴x≡۸ (mod ۱۲) را حل کن.
پاسخ تشریحی
ب.م.م(۴،۱۲)=۴ و ۴ مقسومعلیه ۸ است. با کاهش درست، x≡۲ (mod ۳)؛ در بازهٔ ۰ تا ۱۱ جوابها ۲، ۵، ۸ و ۱۱ هستند.
سؤال ۱۱
چرا از ۲x≡۲ (mod ۶) نمیتوان بدون شرط نتیجه گرفت x≡۱ (mod ۶)؟
پاسخ تشریحی
۲ در پیمانهٔ ۶ وارون ندارد، چون ب.م.م(۲،۶)=۲ است. معادله جوابهای x≡۱ (mod ۳) دارد؛ در یک دوره، x=۱ و x=۴. حذف ۲ و نگهداشتن همان پیمانه یکی از جوابها را از دست میدهد.
سؤال ۱۲
آیا معادلهٔ ۶x≡۵ (mod ۹) جواب دارد؟
پاسخ تشریحی
ب.م.م(۶،۹)=۳ است، اما ۳ عدد ۵ را تقسیم نمیکند؛ پس جوابی ندارد.
کارت خودتصحیح
- همنهشتی را با بخشپذیری تفاضل کنترل کردم.
- باقیماندهٔ منفی را به بازهٔ استاندارد آوردم.
- در جمع و ضرب، جزءها را جدا کاهش دادم.
- برای توان، چرخه را با طول آن کنترل کردم.
- پیش از تقسیم یا حل معادله، ب.م.م و وجود وارون را سنجیدم.
برای وارون و ترکیب خطی، نمونه سؤال الگوریتم اقلیدس را حل کن.