۱۰ نمونه سؤال استقرای ریاضی؛
پایه را ثابت کن و از فرض k فقط برای ساخت k+1 استفاده کن

قالب پاسخ

دامنهٔ n را مشخص کن؛ P(n₀) را بررسی کن؛ P(k) را فرض بگیر؛ سپس با جبر یا ساختار مسئله P(k+1) را نتیجه بگیر.

سؤال ۱: گام پایه

برای ادعای 1+2+…+n=n(n+1)/2 با n≥1، پایه چیست؟

پاسخ: n=1: سمت چپ 1 و سمت راست 1×2/2=1؛ پایه برقرار است.

سؤال ۲: فرض استقرا

فرض مجاز برای همان ادعا را بنویسید.

پاسخ: فرض می‌کنیم برای عدد طبیعی k، 1+2+…+k=k(k+1)/2.

سؤال ۳: ساخت k+1

سمت چپ P(k+1) چگونه از P(k) ساخته می‌شود؟

پاسخ: 1+…+k+(k+1)؛ یعنی به مجموع مرحلهٔ k جملهٔ تازهٔ k+1 افزوده می‌شود.

سؤال ۴: تکمیل جبر

k(k+1)/2+(k+1) را ساده کنید.

پاسخ: (k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2 که فرم P(k+1) است.

سؤال ۵: مجموع اعداد فرد

برای ادعای 1+3+…+(2n−1)=n²، جملهٔ تازه در گام k+1 چیست؟

پاسخ: 2(k+1)−1=2k+1.

سؤال ۶: گام مجموع فردها

با فرض مجموع تا k برابر k²، مرحلهٔ بعد را کامل کنید.

پاسخ: k²+(2k+1)=(k+1)².

سؤال ۷: بخش‌پذیری

برای اثبات اینکه 3ⁿ−1 بر 2 بخش‌پذیر است، فرض استقرا را به چه صورت بنویسیم؟

پاسخ: برای عدد صحیح q فرض می‌کنیم 3ᵏ−1=2q.

سؤال ۸: گام بخش‌پذیری

با فرض قبل نشان دهید 3ᵏ⁺¹−1 زوج است.

پاسخ: 3·3ᵏ−1=3(3ᵏ−1)+2=3(2q)+2=2(3q+1).

سؤال ۹: پایهٔ نادرست

اگر ادعا برای n≥3 است، آیا بررسی n=1 پایهٔ کافی است؟

پاسخ: خیر؛ زنجیره باید از نخستین عضو دامنه یعنی n=3 آغاز شود.

سؤال ۱۰: استدلال دوری

چرا جملهٔ «P(k+1) را فرض می‌کنیم، پس درست است» اثبات نیست؟

پاسخ: نتیجه‌ای را که باید ثابت شود از پیش فرض کرده است. فقط P(k) مجاز است و باید پلی منطقی تا P(k+1) ساخته شود.

چطور خودتصحیح کنی؟

سه عنوان پایه، فرض و گام را روی برگه بنویس. در گام آخر عبارت P(k+1) را از سمت قابل محاسبه شروع کن و محل استفاده از فرض را مشخص کن.