عددها و توابع برای تمرین ساخته شدهاند. روشها و محدودهٔ مباحث را با کتاب درسی و آموزش کلاس خودت تطبیق بده.
۱. دامنهٔ تابع
سؤال: دامنهٔ f(x)=1/(x−3) را تعیین کن.
پاسخ پیشنهادی
مخرج نباید صفر شود؛ پس x≠3 و دامنه همهٔ عددهای حقیقی بهجز ۳ است.
۲. ترکیب تابع
سؤال: اگر f(x)=2x+1 و g(x)=x² باشد، (g∘f)(x) را بیاب.
پاسخ پیشنهادی
ابتدا f اجرا میشود و خروجی آن وارد g میشود: g(f(x))=(2x+1)².
۳. تابع یکبهیک
سؤال: آیا f(x)=3x−2 روی عددهای حقیقی یکبهیک است؟ با روش جبری دلیل بیاور.
پاسخ پیشنهادی
اگر f(a)=f(b)، آنگاه 3a−2=3b−2 و در نتیجه a=b؛ پس تابع روی این دامنه یکبهیک است.
۴. حد با رفع ابهام
سؤال: حد (x²−4)/(x−2) را وقتی x به ۲ میل میکند پیدا کن.
پاسخ پیشنهادی
صورت به (x−2)(x+2) تجزیه میشود. برای x≠2 عامل مشترک حذف و حد x+2 برابر ۴ میشود.
۵. پیوستگی پارامتری
سؤال: تابع برای x≠1 برابر x+2 و در x=1 برابر k است. برای پیوستگی در ۱، k چند باشد؟
پاسخ پیشنهادی
حد دوطرفه در ۱ برابر ۳ است؛ برای پیوستگی باید مقدار تابع نیز ۳ باشد، پس k=3.
۶. مشتق چندجملهای
سؤال: مشتق f(x)=3x³−2x²+5 را به دست آور.
پاسخ پیشنهادی
با قاعدهٔ توان، f′(x)=9x²−4x. مشتق جملهٔ ثابت صفر است.
۷. شیب و خط مماس
سؤال: خط مماس بر y=x² در نقطهای با طول ۲ را بنویس.
پاسخ پیشنهادی
نقطه (2,4) و مشتق 2x است؛ شیب در ۲ برابر ۴ میشود. پس y−4=4(x−2)، یعنی y=4x−4.
۸. صعود و نزول
سؤال: برای f(x)=x²−4x، بازهٔ نزول و صعود را تعیین کن.
پاسخ پیشنهادی
f′(x)=2x−4 است که در x=2 صفر میشود. مشتق پیش از ۲ منفی و پس از آن مثبت است؛ تابع روی (−∞,2) نزولی و روی (2,∞) صعودی است.
۹. اکسترمم
سؤال: نوع نقطهٔ بحرانی سؤال قبل و مختصات آن را بنویس.
پاسخ پیشنهادی
تغییر علامت مشتق از منفی به مثبت، کمینهٔ موضعی میسازد. f(2)=−4؛ پس نقطهٔ کمینه (2,−4) است.
۱۰. بهینهسازی
سؤال: دو عدد مثبت مجموعشان ۱۰ است. حاصلضربشان چه زمانی بیشینه میشود؟
پاسخ پیشنهادی
اگر یکی x باشد، دیگری 10−x و P=x(10−x)=−x²+10x است. رأس سهمی در x=5 قرار دارد؛ دو عدد ۵ و ۵ و بیشترین حاصلضرب ۲۵ است.
چطور خودتصحیح کنی؟
برای هر سؤال دامنه یا شرط، رابطه، عملیات و کنترل را جدا امتیاز بده. خطاها را در خوشههای تابع، حد و مشتق ثبت کن و برای دور بعد از نمونه سؤال تألیفی حسابان و برگ کنترل پاسخ استفاده کن.