روش اجرا: شرط، عملیات، کنترل
هر سؤال را روی کاغذ حل کن و شرط دامنه یا نقطهٔ مورد نظر را پیش از عملیات بنویس. پاسخ پیشنهادی مسیر اصلی را نشان میدهد؛ برای نمرهٔ تشریحی، مراحل میانی و علامت مساویها را حذف نکن.
اعداد و تابعها برای تمرین این صفحه ساخته شدهاند. معیار خودتصحیح «شرط درست، مسیر حل و کنترل نتیجه» است.
1. دامنهٔ تابع گویا
سؤال: دامنهٔ تابع f(x)=(x+2)/(x−3) را پیدا کن.
پاسخ پیشنهادی
مخرج نباید صفر شود؛ پس x≠3. دامنه همهٔ عددهای حقیقی بهجز ۳ است.
2. ترکیب تابع
سؤال: اگر f(x)=2x−1 و g(x)=x² باشد، مقدار (g∘f)(2) را حساب کن.
پاسخ پیشنهادی
ابتدا f(2)=3 و سپس g(3)=9. ترتیب ترکیب مهم است؛ بنابراین پاسخ ۹ است.
3. وارون
سؤال: برای f(x)=3x+6، تابع وارون را به دست آور.
پاسخ پیشنهادی
مینویسیم y=3x+6، جای x و y را عوض میکنیم و حل میکنیم: x=3y+6، پس y=(x−6)/3 و f⁻¹(x)=(x−6)/3.
4. حد با تجزیه
سؤال: حد (x²−4)/(x−2) را هنگامی که x به 2 نزدیک میشود پیدا کن.
پاسخ پیشنهادی
صورت برابر (x−2)(x+2) است. برای x≠2 عامل مشترک ساده میشود و حد x+2 در 2 برابر 4 است.
5. پیوستگی پارامتری
سؤال: تابع برای x≠1 برابر x+2 و در x=1 برابر a است. برای پیوستگی در 1، a چند باشد؟
پاسخ پیشنهادی
حد x+2 در 1 برابر 3 است. برای پیوستگی باید مقدار تابع با حد برابر باشد، پس a=3.
6. مشتق چندجملهای
سؤال: مشتق f(x)=2x³−5x²+4 را بنویس.
پاسخ پیشنهادی
با قاعدهٔ توان، f′(x)=6x²−10x است و مشتق عدد ثابت 4 صفر میشود.
7. شیب مماس
سؤال: برای f(x)=x²+1، شیب خط مماس در x=3 را پیدا کن.
پاسخ پیشنهادی
f′(x)=2x است؛ پس f′(3)=6 و شیب مماس برابر 6 است.
8. معادلهٔ مماس
سؤال: معادلهٔ مماس بر y=x² در نقطهای با x=1 را بنویس.
پاسخ پیشنهادی
نقطه (1,1) و شیب f′(1)=2 است. با فرم نقطهشیب: y−1=2(x−1)، پس y=2x−1.
9. بازهٔ یکنواختی
سؤال: برای f(x)=x²−4x، بازههای افزایشی و کاهشی را تعیین کن.
پاسخ پیشنهادی
f′(x)=2x−4 است؛ برای x<2 منفی و برای x>2 مثبت است. تابع در (−∞,2) کاهشی و در (2,∞) افزایشی است.
10. اکسترمم
سؤال: کمینهٔ تابع f(x)=x²−4x+7 را پیدا کن.
پاسخ پیشنهادی
رأس در x=2 قرار دارد؛ f(2)=4−8+7=3. چون ضریب x² مثبت است، مقدار کمینه 3 و نقطهٔ کمینه (2,3) است.
نتیجه را چطور خودتصحیح کنی؟
برای هر سؤال سه امتیاز بده: شرط یا فرمول، مراحل محاسبه و کنترل نهایی. خطاها را به «دامنه»، «ترتیب عملیات»، «مشتق» و «علامت» تقسیم کن و دو روز بعد فقط دستهٔ ضعیف را دوباره حل کن.