آزمون تشخیص مدل
انتخاب بدون نقش معمولاً ترکیب است؛ چینش یا تخصیص نقشهای متفاوت جایگشت میخواهد. در اشیای تکراری، جایگشتهای ناشی از جابهجایی عناصر یکسان پاسخ تازه نمیسازند و باید حذف شوند.
انتخاب یا چینش؟ ← ترتیب مهم؟ ← تکرار مجاز؟ ← محدودیت ← فرمول ← کنترل شمارش
سؤال ۱: چیدن کتاب
۵ کتاب متفاوت را در یک ردیف چند حالت میتوان چید؟
پاسخ تشریحی
ترتیب مهم است؛ ۵!=۱۲۰ حالت.
سؤال ۲: انتخاب کمیته
از ۸ نفر یک کمیتهٔ ۳نفره بدون نقش انتخاب میشود. چند حالت؟
پاسخ تشریحی
ترتیب اعضا مهم نیست؛ C(8,3)=۸×۷×۶/(۳×۲×۱)=۵۶.
سؤال ۳: دو نقش
از ۸ نفر یک رئیس و یک دبیر انتخاب میشود. چند حالت؟
پاسخ تشریحی
نقشها متفاوتاند؛ ۸ انتخاب برای رئیس و ۷ برای دبیر، در مجموع ۵۶ حالت.
سؤال ۴: ترتیب سه برگزیده
از ۷ دونده، رتبههای اول تا سوم چند حالت دارد؟
پاسخ تشریحی
ترتیب رتبهها مهم است؛ P(7,3)=۷×۶×۵=۲۱۰.
سؤال ۵: حروف تکراری
حروف A,A,B,B,C چند آرایش متمایز دارند؟
پاسخ تشریحی
۵!/(۲!۲!)=۳۰؛ جابهجایی دو A یا دو B حالت تازه نمیسازد.
سؤال ۶: چیدمان دایرهای
۴ نفر دور میز گرد چند چیدمان متمایز دارند، اگر چرخش کل میز یکسان شمرده شود؟
پاسخ تشریحی
(۴−۱)!=۶. یک نفر را ثابت میکنیم و سه نفر دیگر را میچینیم.
سؤال ۷: کمیته با شرط
از ۵ دانشآموز دختر و ۴ دانشآموز پسر، کمیتهٔ ۳نفره با دقیقاً ۲ دختر چند حالت دارد؟
پاسخ تشریحی
C(5,2)×C(4,1)=۱۰×۴=۴۰.
سؤال ۸: کد سهرقمی
چند عدد سهرقمی با رقمهای غیرتکراری ساخته میشود؟
پاسخ تشریحی
رقم صدگان ۹ انتخاب (۱ تا ۹)، دهگان ۹ انتخاب باقیمانده شامل صفر و یکان ۸ انتخاب دارد؛ ۹×۹×۸=۶۴۸.
سؤال ۹: حداقل یک عضو خاص
از ۶ نفر که دو نفرشان A و B هستند، کمیتهٔ ۳نفرهای میخواهیم که حداقل یکی از A یا B را داشته باشد. چند حالت؟
پاسخ تشریحی
همهٔ کمیتهها منهای کمیتههای بدون A و B: C(6,3)−C(4,3)=۲۰−۴=۱۶.
سؤال ۱۰: خطای ترتیب
برای انتخاب ۲ کتاب از ۵ کتاب، دانشآموز ۵×۴=۲۰ نوشته است. خطا چیست؟
پاسخ تشریحی
هر جفت را دو بار، با دو ترتیب، شمرده است. چون انتخاب بدون نقش است، پاسخ C(5,2)=۱۰ است.
برگهٔ خودتصحیح
یک پاسخ نمونه را با جابهجایی اعضا امتحان کن؛ اگر همان انتخاب است، تقسیم یا ترکیب لازم میشود. راهنمای کامل در تفاوت جایگشت و ترکیب آمده است.