روش اجرای آزمونک
هر ویژگی را با آزمون مخصوص خودش بررسی کن و برای رد آن یک مثال نقض کامل بنویس. آموزش در راهنمای رابطه، همارزی و ترتیب جزئی آمده است.
۱۰ تمرین خواص رابطه
سؤال 1
روی A={1,2,3}، رابطهٔ R={(1,1),(2,2),(3,3)} بازتابی است؟
پاسخ تشریحی
بله؛ هر سه زوج قطری (a,a) حضور دارند، پس R بازتابی است.
سؤال 2
روی A={1,2,3}، R={(1,2),(2,1)} متقارن است؟
پاسخ تشریحی
برای هر زوج، زوج وارونه نیز هست؛ بنابراین رابطه متقارن است، هرچند بازتابی نیست.
سؤال 3
روی A={1,2}، R={(1,1),(2,2),(1,2)} پادتقارنی است؟
پاسخ تشریحی
بله؛ برای دو عضو متمایز، هر دو جهت همزمان وجود ندارند. پس R پادتقارنی است.
سؤال 4
R={(1,2),(2,3),(1,3)} روی A={1,2,3} تعدی دارد؟
پاسخ تشریحی
تنها زنجیرهٔ مهم 1R2 و 2R3 است و 1R3 نیز وجود دارد؛ پس R تعدی است.
سؤال 5
R={(1,2),(2,3)} چرا تعدی نیست؟
پاسخ تشریحی
از 1R2 و 2R3 باید 1R3 نتیجه شود، اما (1,3) در رابطه نیست؛ این زنجیره یک مثال نقض است.
سؤال 6
رابطهٔ تهی روی مجموعهٔ ناتهی کدامیک از بازتابی، متقارن و تعدی را دارد؟
پاسخ تشریحی
بازتابی نیست چون زوجهای قطری غایباند؛ اما چون زوج یا زنجیرهای برای نقض وجود ندارد، متقارن و تعدی است.
سؤال 7
رابطهٔ «همزوجی» روی {1,2,3,4} همارزی است؟
پاسخ تشریحی
برابری باقیمانده در تقسیم بر 2 بازتابی، متقارن و تعدی است؛ پس همارزی است.
سؤال 8
کلاسهای همارزی رابطهٔ همزوجی روی {1,2,3,4} را بنویس.
پاسخ تشریحی
دو کلاس داریم: اعداد فرد {1,3} و اعداد زوج {2,4}. هر عضو دقیقاً در یکی است.
سؤال 9
رابطهٔ ≤ روی {1,2,3} همارزی است یا ترتیب جزئی؟
پاسخ تشریحی
بازتابی، پادتقارنی و تعدی است؛ پس ترتیب جزئی است. متقارن نیست و همارزی نیست.
سؤال 10
رابطهٔ بخشپذیری روی {1,2,3,6} را از نظر ترتیب جزئی بررسی کن.
پاسخ تشریحی
هر عدد خودش را تقسیم میکند؛ تقسیم دوطرفه برای اعداد مثبت برابربودن میدهد و بخشپذیری تعدی دارد. پس ترتیب جزئی است.
چکلیست خودتصحیح
- مجموعهٔ پایه را مشخص کردم.
- بازتابی را با همهٔ زوجهای قطری سنجیدم.
- تقارن را با زوج وارونه و پادتقارن را فقط برای اعضای متمایز بررسی کردم.
- برای تعدی همهٔ زنجیرههای طول دو را دیدم.
- سه ویژگی لازم هر ساختار را جداگانه ثابت کردم.