روش اجرای آزمونک
تمرینها را بدون دیدن پاسخ حل کن. کنار هر ترکیب بنویس کدام تابع زودتر اجرا میشود و کنار هر معکوس، دامنه و برد را کنترل کن. آموزش کامل در راهنمای ترکیب و معکوس تابع قرار دارد.
بخش اول؛ ترکیب تابعها
سؤال ۱
اگر f(x)=2x−1 و g(x)=x² باشد، (f∘g)(3) و (g∘f)(3) را بیاب.
پاسخ تشریحی
در f∘g ابتدا g اجرا میشود: g(3)=9 و f(9)=17. در g∘f ابتدا f(3)=5 و سپس g(5)=25. پس پاسخها بهترتیب ۱۷ و ۲۵ هستند.
سؤال ۲
برای f(x)=x+4 و g(x)=3x، ضابطهٔ (f∘g)(x) را بنویس.
پاسخ تشریحی
خروجی g یعنی 3x را ورودی f میکنیم: f(3x)=3x+4؛ بنابراین (f∘g)(x)=3x+4.
سؤال ۳
اگر f(x)=√x و g(x)=x−2 باشد، ضابطه و دامنهٔ f∘g را تعیین کن.
پاسخ تشریحی
(f∘g)(x)=√(x−2). برای تعریف رادیکال باید x−2≥0؛ پس دامنه x≥2 است.
سؤال ۴
برای f(x)=1/x و g(x)=x+1، دامنهٔ g∘f چیست؟
پاسخ تشریحی
(g∘f)(x)=1/x+1. تنها محدودیت از f میآید؛ پس x≠0. خروجی f برای ورود به g محدودیت دیگری ندارد.
سؤال ۵
اگر f(x)=x² و g(x)=x+2، آیا f∘g و g∘f برابرند؟
پاسخ تشریحی
f∘g=(x+2)²=x²+4x+4، اما g∘f=x²+2. چون ضابطهها یکسان نیستند، برابر نیستند.
سؤال ۶
f(x)=2x+3 و (f∘g)(x)=4x−1 است. g(x) را پیدا کن.
پاسخ تشریحی
f(g(x))=2g(x)+3=4x−1؛ پس 2g(x)=4x−4 و g(x)=2x−2.
بخش دوم؛ معکوس تابع
سؤال ۷
معکوس f(x)=3x−6 را بیاب.
پاسخ تشریحی
y=3x−6؛ جای x و y را عوض میکنیم: x=3y−6، پس y=(x+6)/3. بنابراین f⁻¹(x)=(x+6)/3.
سؤال ۸
معکوس f(x)=(x−1)/2 را پیدا و با یک ترکیب کنترل کن.
پاسخ تشریحی
از y=(x−1)/2 نتیجه میشود x=2y+1؛ پس f⁻¹(x)=2x+1. کنترل: f(f⁻¹(x))=[(2x+1)−1]/2=x.
سؤال ۹
آیا f(x)=x² روی همهٔ اعداد حقیقی معکوس تابعی دارد؟ دلیل بنویس.
پاسخ تشریحی
خیر؛ برای نمونه f(2)=f(−2)=4 و تابع یکبهیک نیست. با محدودکردن دامنه به x≥0 میتوان معکوس √x ساخت.
سؤال ۱۰
اگر دامنهٔ f(x)=x² برابر x≤0 باشد، f⁻¹(x) چیست؟
پاسخ تشریحی
برد f نامنفی است. چون شاخهٔ دامنه منفی انتخاب شده، هنگام بازگشت باید مقدار نامثبت بگیریم؛ پس f⁻¹(x)=−√x با دامنهٔ x≥0.
سؤال ۱۱
برای f(x)=1/(x−2)، معکوس را بیاب و محدودیتها را بنویس.
پاسخ تشریحی
y=1/(x−2)؛ xy−2y=1 و x=2+1/y. پس f⁻¹(x)=2+1/x. دامنهٔ f: x≠2 و دامنهٔ معکوس: x≠0.
سؤال ۱۲
دانشآموز از f(f⁻¹(2))=2 نتیجه میگیرد معکوسش حتماً درست است. ایراد چیست؟
پاسخ تشریحی
کنترل در یک عدد فقط همان ورودی را میآزماید. برای اثبات باید هر دو ترکیب f∘f⁻¹ و f⁻¹∘f روی دامنههای مربوط به تابع همانی برسند.
چکلیست خودتصحیح
- ترتیب ترکیب را از راست به چپ خواندم.
- دامنهٔ تابع اول و پذیرش خروجی آن در تابع دوم را سنجیدم.
- پیش از یافتن معکوس، یکبهیک بودن را بررسی کردم.
- دامنه و برد را هنگام معکوسشدن جابهجا کردم.
- معکوس را با ترکیب دوطرفه کنترل کردم.