دو رابطهٔ پایه
متوسط روی [a,b]: (f(b)−f(a))/(b−a) | لحظهای در a: f′(a)
آموزش کامل در راهنمای نرخ متوسط و لحظهای آمده است.
بخش اول؛ نرخ متوسط
سؤال ۱
مکان جسم با s(t)=t²+2t متر داده شده است. نرخ متوسط تغییر مکان در بازهٔ [۱،۳] را بیاب.
پاسخ تشریحی
s(3)=15 و s(1)=3؛ پس (۱۵−۳)/(۳−۱)=۶ متر بر ثانیه.
سؤال ۲
تابع دما T(t)=20−3t برحسب درجه و ساعت است. نرخ متوسط روی هر بازه چیست و علامت آن چه معنایی دارد؟
پاسخ تشریحی
تابع خطی با شیب −۳ درجه بر ساعت است. علامت منفی یعنی دما در هر ساعت سه درجه کاهش مییابد.
سؤال ۳
مقدار یک مخزن در ساعت ۲ برابر ۱۲۰ لیتر و در ساعت ۵ برابر ۱۸۰ لیتر است. نرخ متوسط چیست؟
پاسخ تشریحی
(۱۸۰−۱۲۰)/(۵−۲)=۶۰/۳=۲۰ لیتر بر ساعت. این عدد روند متوسط کل بازه را بیان میکند.
سؤال ۴
دانشآموز در مخرج سؤال قبل ۵ را نوشته است. خطا چیست؟
پاسخ تشریحی
مخرج باید طول بازه باشد، نه زمان پایان؛ یعنی ۵−۲=۳ ساعت.
بخش دوم؛ نرخ لحظهای
سؤال ۵
برای s(t)=t²+2t، نرخ لحظهای در t=2 را پیدا کن.
پاسخ تشریحی
s′(t)=2t+2؛ پس s′(2)=۶ متر بر ثانیه. این بار عدد به یک لحظه تعلق دارد.
سؤال ۶
حجم V(t)=t³ سانتیمتر مکعب است. نرخ لحظهای تغییر حجم در t=2 چیست؟
پاسخ تشریحی
V′(t)=3t² و V′(2)=۱۲ سانتیمتر مکعب بر واحد زمان.
سؤال ۷
اگر f′(4)=−2 باشد، جملهٔ «تابع در x=4 با نرخ ۲ واحد افزایش مییابد» را نقد کن.
پاسخ تشریحی
علامت منفی حذف شده است. در x=4، مقدار تابع با نرخ لحظهای ۲ واحد کاهش به ازای هر واحد x دارد.
سؤال ۸
شیب خط مماس نمودار y=f(x) در x=5 برابر صفر است. نرخ لحظهای چیست؟
پاسخ تشریحی
f′(5)=0. این فقط افقیبودن مماس و نرخ لحظهای صفر را نشان میدهد و بهتنهایی نوع نقطهٔ بیشینه یا کمینه را قطعی نمیکند.
بخش سوم؛ قاطع، مماس و تقریب
سؤال ۹
نرخ متوسط از نظر هندسی شیب کدام خط است؟
پاسخ تشریحی
شیب خط قاطع گذرنده از دو نقطهٔ (a,f(a)) و (b,f(b)).
سؤال ۱۰
برای نزدیکشدن به نرخ لحظهای در x=2، کدام بازهها مناسبترند: [۲،۳] یا [۲،۲٫۰۱]؟ چرا؟
پاسخ تشریحی
[۲،۲٫۰۱] به نقطه نزدیکتر است و شیب قاطع آن، در صورت وجود مشتق، تقریب نزدیکتری از شیب مماس میدهد.
سؤال ۱۱
برای f(x)=x²، نرخ متوسط روی [2,2+h] را ساده کن.
پاسخ تشریحی
((2+h)²−4)/h=(4+4h+h²−4)/h=4+h، برای h≠0. با نزدیکشدن h به صفر، نرخ به ۴ نزدیک میشود.
سؤال ۱۲
چرا واژهٔ «سرعت» در متن سؤال بهتنهایی نمیگوید نرخ متوسط خواسته شده یا لحظهای؟
پاسخ تشریحی
باید دید سؤال یک بازه و دو زمان داده یا یک لحظه و مشتق/مماس را میخواهد. صورت ریاضی تعیینکننده است.
خودتصحیح
- کمیت مستقل و وابسته را نوشتم.
- بازه را با دو سر مرتب مشخص کردم.
- برای متوسط، تغییر خروجی را بر تغییر ورودی تقسیم کردم.
- برای لحظهای، مشتق را در نقطه محاسبه کردم.
- علامت و واحد را به یک جملهٔ زمینهدار تبدیل کردم.
برای قواعد محاسبه، نمونه سؤال مشتق حسابان را حل کن.