آزمونک مرحلهای
ساختار تابع ← قاعدهٔ مشتق ← محاسبه ← جایگذاری یا تفسیر
۱. چندجملهای
اگر f(x)=3x⁴−2x²+5x−7 باشد، f′(x) را بیاب.
پاسخ
f′(x)=12x³−4x+5.
۲. مقدار مشتق
برای تابع سؤال ۱، مقدار f′(1) را حساب کن.
پاسخ
۱۲−۴+۵=۱۳.
۳. قاعدهٔ ضرب
مشتق y=(x²+1)(x−3) را بدون بسط اولیه پیدا کن.
پاسخ
y′=2x(x−3)+(x²+1)=3x²−6x+1.
۴. قاعدهٔ خارجقسمت
اگر y=(x+1)/(x−1) باشد، مشتق را بیاب.
پاسخ
y′=[(x−1)−(x+1)]/(x−1)²=−2/(x−1)²، با شرط x≠1.
۵. قاعدهٔ زنجیرهای
مشتق y=(2x−1)⁵ را حساب کن.
پاسخ
y′=5(2x−1)⁴×2=10(2x−1)⁴.
۶. شیب مماس
شیب مماس بر y=x²−4x در x=3 چقدر است؟
پاسخ
y′=2x−4، پس y′(3)=2.
۷. معادلهٔ مماس
برای سؤال ۶، معادلهٔ خط مماس را بنویس.
پاسخ
نقطهٔ تماس (۳،−۳) و شیب ۲ است؛ y+3=2(x−3)، پس y=2x−9.
۸. نقطهٔ بحرانی
نقاطی را که مشتق f(x)=x³−3x در آنها صفر است پیدا کن.
پاسخ
f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)، پس x=−1 و x=1.
۹. صعود و نزول
برای تابع سؤال ۸، بازههای صعود و نزول را تعیین کن.
پاسخ
مشتق بیرون بازهٔ (−۱،۱) مثبت و داخل آن منفی است؛ تابع روی (−∞،−۱) و (۱،∞) صعودی و روی (−۱،۱) نزولی است.
۱۰. تشخیص خطا
دانشآموز نوشته است d/dx[(3x+2)²]=2(3x+2). چه عاملی جا افتاده است؟
پاسخ
مشتق تابع درونی یعنی ۳ جا افتاده است؛ پاسخ درست 6(3x+2) است.
خودتصحیح
| معیار | امتیاز |
|---|---|
| انتخاب قاعده | ۶ |
| محاسبه و سادهسازی | ۸ |
| جایگذاری و تفسیر | ۶ |
خطا را با نام قاعده ثبت کن و دوباره حل کن. آموزش مفهومی در راهنمای مشتق قرار دارد.