آزمونک مرحلهای
جایگذاری ← تشخیص حالت ← تبدیل مجاز ← سادهسازی ← جایگذاری دوباره
۱. جایگذاری مستقیم
lim(x→2) (x²+3x−1) را بیاب.
پاسخ
تابع چندجملهای است؛ با جایگذاری ۲ داریم ۴+۶−۱=۹.
۲. تجزیهٔ تفاضل مربع
lim(x→3) (x²−9)/(x−3) را حساب کن.
پاسخ
صورت (x−3)(x+3) است. پس برای x≠3 عبارت x+3 و حد برابر ۶ است.
۳. عامل مشترک
lim(x→0) (x²+4x)/x را بیاب.
پاسخ
برای x≠0، عبارت x+4 است؛ حد برابر ۴.
۴. گویاکردن
lim(x→0) (√(x+4)−2)/x را حساب کن.
پاسخ
با ضرب در مزدوج، عبارت به 1/(√(x+4)+2) تبدیل میشود؛ حد ۱/۴ است.
۵. حد در بینهایت
lim(x→∞) (3x²−x+1)/(x²+4) را بیاب.
پاسخ
صورت و مخرج را بر x² تقسیم میکنیم؛ جملههای دارای ۱/x به صفر میروند و حد نسبت ضرایب پیشرو یعنی ۳ است.
۶. درجهٔ کمتر صورت
lim(x→∞) (2x+5)/(x²+1) چیست؟
پاسخ
با تقسیم بر x²، صورت به 2/x+5/x² و مخرج به 1+1/x² میرسد؛ حد صفر است.
۷. حد یکطرفه
تابع برای x<1 برابر 2x و برای x≥1 برابر x+2 است. حد چپ و راست در ۱ را بیاب.
پاسخ
حد چپ ۲ و حد راست ۳ است.
۸. وجود حد دوسویه
آیا حد دوسویهٔ تابع سؤال ۷ در x=1 وجود دارد؟
پاسخ
خیر؛ دو حد یکطرفه برابر نیستند.
۹. مجانب قائم
رفتار 1/(x−2) را هنگام نزدیکشدن به ۲ از چپ و راست توصیف کن.
پاسخ
از چپ مخرج منفی و بسیار کوچک است، پس حد −∞؛ از راست +∞. خط x=2 مجانب قائم است.
۱۰. نقد سادهسازی
دانشآموز در سؤال ۲ عامل x−3 را حذف کرده و نتیجه گرفته تابع در x=3 برابر ۶ است. کدام بخش حرف او دقیق نیست؟
پاسخ
سادهسازی برای x≠3 معتبر است و حد را ۶ میکند، اما مقدار تابع اصلی در x=3 تعریف نشده است.
خودتصحیح
| معیار | امتیاز |
|---|---|
| تشخیص روش | ۶ |
| تبدیل و محاسبه | ۸ |
| تفسیر وجود حد | ۶ |
برای هر خطا نام روش درست را ثبت کن. آموزش کامل در راهنمای حد تابع قرار دارد.