الگوی قاعدهٔ زنجیره
اگر y=f(g(x)) باشد، y′=f′(g(x))g′(x). ترتیب کار از لایهٔ بیرونی به درونی است؛ خود عبارت داخلی در مشتق بیرونی حفظ میشود و سپس مشتق آن ضرب میگردد.
لایهٔ بیرونی ← u=عبارت درونی ← مشتق بیرونی ← u′ ← ضرب ← سادهسازی
سؤال ۱: توان تابع خطی
مشتق y=(3x+1)5 را بیابید.
پاسخ تشریحی
u=3x+1 و u′=3. پس y′=5u4×3=15(3x+1)4.
سؤال ۲: رادیکال
مشتق y=√(2x−1) چیست؟
پاسخ تشریحی
y=(2x−1)1/2؛ بنابراین y′=(1/2)(2x−1)−1/2×2=1/√(2x−1).
سؤال ۳: توان منفی
از y=1/(x²+1) مشتق بگیرید.
پاسخ تشریحی
y=(x²+1)−1؛ پس y′=−1(x²+1)−2×2x=−2x/(x²+1)².
سؤال ۴: سینوس تابع خطی
مشتق y=sin(4x) را بنویسید.
پاسخ تشریحی
مشتق سینوس، کسینوسِ همان عبارت است و مشتق 4x نیز 4؛ بنابراین y′=4cos(4x).
سؤال ۵: کسینوس تابع درجه دو
اگر y=cos(x²) باشد، y′ را بیابید.
پاسخ تشریحی
y′=−sin(x²)×2x=−2x sin(x²). علامت منفی مشتق کسینوس باید حفظ شود.
سؤال ۶: تابع نمایی
مشتق y=e3x−2 چیست؟
پاسخ تشریحی
عبارت درونی 3x−2 و مشتق آن 3 است؛ پس y′=3e3x−2.
سؤال ۷: لگاریتم طبیعی
از y=ln(5x+1) مشتق بگیرید.
پاسخ تشریحی
y′=5/(5x+1)، در دامنهای که 5x+1>0 باشد.
سؤال ۸: دو لایهٔ توانی
مشتق y=(x²+1)3/2 را بیابید.
پاسخ تشریحی
y′=(3/2)(x²+1)1/2×2x=3x√(x²+1).
سؤال ۹: ارزیابی مشتق
برای f(x)=(2x−1)³، مقدار f′(1) را حساب کنید.
پاسخ تشریحی
f′(x)=3(2x−1)²×2=6(2x−1)²؛ پس f′(1)=6.
سؤال ۱۰: خطای رایج
دانشآموز مشتق (x²+3)⁴ را 4(x²+3)³ نوشته است. پاسخ را اصلاح کنید.
پاسخ تشریحی
مشتق عبارت داخلی x²+3 فراموش شده است. پاسخ درست 4(x²+3)³×2x=8x(x²+3)³ است.
برگهٔ خودتصحیح
عبارت داخلی باید در پاسخ دیده شود و مشتق آن نیز بهعنوان عامل حضور داشته باشد. روش کاملتر را در راهنمای قاعدهٔ زنجیره مرور کن.