دو فرمول پایه
(uv)′=u′v+uv′ و (u/v)′=(u′v−uv′)/v². فرمول خارجقسمت در نقاطی به کار میرود که مخرج صفر نباشد. پس از مشتق میتوان صورت را ساده کرد.
سادهسازی ممکن؟ ← u و v ← u′ و v′ ← جایگذاری فرمول ← مخرج به توان دو ← کنترل دامنه
سؤال ۱: ضرب دو چندجملهای
مشتق y=x²(x+3) را با قاعده ضرب بیابید.
پاسخ تشریحی
y′=2x(x+3)+x²(1)=3x²+6x.
سؤال ۲: ضرب در تابع مثلثاتی
از y=(x²+1)sin x مشتق بگیرید.
پاسخ تشریحی
y′=2x sin x+(x²+1)cos x.
سؤال ۳: ترتیب دو عامل
مشتق y=(2x−1)(x³+4) را بنویسید.
پاسخ تشریحی
y′=2(x³+4)+(2x−1)(3x²). هر دو جملهٔ قاعدهٔ ضرب لازماند.
سؤال ۴: خارجقسمت خطی
مشتق y=(x+1)/(x−1) چیست؟
پاسخ تشریحی
y′=[1(x−1)−(x+1)(1)]/(x−1)²=−2/(x−1)²، با شرط x≠1.
سؤال ۵: صورت درجه دو
از y=x²/(x+1) مشتق بگیرید.
پاسخ تشریحی
y′=[2x(x+1)−x²]/(x+1)²=(x²+2x)/(x+1)²، با x≠−1.
سؤال ۶: سینوس بر x
اگر y=sin x/x باشد، y′ را بیابید.
پاسخ تشریحی
y′=[x cos x−sin x]/x²، برای x≠0.
سؤال ۷: ارزیابی مشتق
برای f(x)=(x²+1)/(x+2)، مقدار f′(0) را حساب کنید.
پاسخ تشریحی
f′(x)=[2x(x+2)−(x²+1)]/(x+2)²؛ پس f′(0)=−1/4.
سؤال ۸: سادهسازی پیش از مشتق
تابع y=x(x²−1)/x برای x≠0 داده شده است. مشتق را بیابید.
پاسخ تشریحی
در دامنهٔ x≠0، تابع به x²−1 ساده میشود؛ پس y′=2x. شرط x≠0 همچنان از تابع اصلی باقی میماند.
سؤال ۹: خطای قاعده ضرب
دانشآموز نوشته است [(x²)(eˣ)]′=2x·eˣ. جملهٔ جاافتاده را پیدا کنید.
پاسخ تشریحی
او فقط عامل اول را مشتق گرفته است. پاسخ درست 2xeˣ+x²eˣ=eˣ(2x+x²) است.
سؤال ۱۰: خطای ترتیب تفریق
برای y=u/v، چرا جابهجاکردن u′v−uv′ به uv′−u′v پاسخ را تغییر میدهد؟
پاسخ تشریحی
عبارت دوم منفیِ عبارت نخست است و علامت کل مشتق را عوض میکند. ترتیب صورت فرمول باید ثابت بماند: مشتق صورت×مخرج منهای صورت×مشتق مخرج.
برگهٔ خودتصحیح
در قاعدهٔ ضرب دو جمله و در خارجقسمت مخرجِ توان دوم را کنترل کن. اگر عامل مشترک حذف شد، دامنهٔ تابع اولیه را نگه دار. برای مرور به راهنمای قاعدهٔ ضرب و خارجقسمت برگرد.