فرمول و کنترل آغازین
اگر متغیر تصادفی X مقدارهای x را با احتمالهای متناظر بگیرد، امید ریاضی از مجموع x×P(X=x) به دست میآید. پیش از محاسبه کنترل کن همهٔ احتمالها نامنفیاند و مجموعشان یک است.
تعریف X ← مقدارهای متمایز ← احتمال هر مقدار ← کنترل مجموع ← ΣxP(x) ← تفسیر
سؤال ۱: سکهٔ سالم
دو بار سکهای سالم میاندازیم و X تعداد روهاست. توزیع احتمال و E(X) را بیابید.
پاسخ تشریحی
X مقادیر ۰، ۱ و ۲ را با احتمالهای ۱/۴، ۲/۴ و ۱/۴ میگیرد. امید برابر ۰×۱/۴ + ۱×۲/۴ + ۲×۱/۴ = ۱ است.
سؤال ۲: جدول ناقص
X مقادیر ۰، ۲ و ۵ را با احتمالهای ۰٫۲، ۰٫۵ و p میگیرد. p و امید را پیدا کنید.
پاسخ تشریحی
از مجموع احتمالها p=۰٫۳. پس E(X)=۰×۰٫۲+۲×۰٫۵+۵×۰٫۳=۲٫۵.
سؤال ۳: تاس و تابع پیامد
تاس سالمی میاندازیم. X برابر ۱ است اگر عدد زوج بیاید و در غیر این صورت صفر. امید X چیست؟
پاسخ تشریحی
P(X=1)=۳/۶ و P(X=0)=۳/۶؛ بنابراین E(X)=۱/۲. این عدد احتمال رخداد زوج نیز هست.
سؤال ۴: مقدارهای تکراری
در کیسهای چهار کارت با عددهای ۱، ۱، ۳ و ۵ است و یک کارت تصادفی انتخاب میشود. توزیع X و امید را بنویسید.
پاسخ تشریحی
مقدار ۱ احتمال ۲/۴ و مقدارهای ۳ و ۵ هرکدام احتمال ۱/۴ دارند. امید = ۱×۱/۲ + ۳×۱/۴ + ۵×۱/۴ = ۲٫۵. مقدار ۱ را در جدول دوبار نمینویسیم.
سؤال ۵: تبدیل خطی
اگر E(X)=۴ و Y=۳X−۲ باشد، E(Y) را بیابید.
پاسخ تشریحی
E(Y)=۳E(X)−۲=۱۲−۲=۱۰. میتوان همین نتیجه را با تبدیل تکتک مقدارهای جدول نیز کنترل کرد.
سؤال ۶: جایزه و هزینه
در یک بازی، با احتمال ۰٫۲ جایزهٔ ۵۰ امتیازی و در غیر این صورت صفر امتیاز میگیرید. ورود ۸ امتیاز هزینه دارد. امید سود خالص چیست؟
پاسخ تشریحی
امید دریافتی ۵۰×۰٫۲=۱۰ است. امید سود خالص ۱۰−۸=۲ امتیاز است. هزینه را باید از دریافتی کم کرد.
سؤال ۷: بازی منصفانه
بازی با احتمال ۱/۴ جایزهٔ ۳۶ هزار تومانی میدهد و در حالت دیگر جایزه ندارد. هزینهٔ ورود منصفانه چقدر است؟
پاسخ تشریحی
امید دریافتی ۳۶٬۰۰۰×۱/۴=۹٬۰۰۰ تومان است. برای امید سود خالص صفر، هزینهٔ ورود ۹ هزار تومان است.
سؤال ۸: مقایسهٔ دو گزینه
گزینهٔ الف با احتمال ۰٫۵ مقدار ۸ وگرنه صفر میدهد. گزینهٔ ب همیشه مقدار ۳ میدهد. کدام امید بیشتری دارد؟
پاسخ تشریحی
امید الف ۴ و امید ب ۳ است؛ پس الف امید بیشتری دارد. این نتیجه بهتنهایی دربارهٔ میزان پراکندگی یا ترجیح شخص تصمیم نمیگیرد.
سؤال ۹: تشخیص جدول نامعتبر
برای X احتمالهای ۰٫۴، ۰٫۳ و ۰٫۴ نوشته شده است. چرا محاسبهٔ امید از این جدول معتبر نیست؟
پاسخ تشریحی
مجموع احتمالها ۱٫۱ است، نه یک. ابتدا باید خطای داده یا احتمالها اصلاح شود؛ میانگین وزنی این جدول توزیع احتمال معتبر نیست.
سؤال ۱۰: تفسیر امید
امید تعداد پاسخهای درست در یک فعالیت ۲٫۴ است. آیا دانشآموز در یک بار اجرا دقیقاً ۲٫۴ پاسخ درست میدهد؟
پاسخ تشریحی
خیر. تعداد پاسخ درست در یک اجرا عدد صحیح است. ۲٫۴ میانگین بلندمدت توزیع است، نه نتیجهٔ قطعی یک بار آزمایش.
برگهٔ خودتصحیح
مقدارهای تکراری را ادغام کن، مجموع احتمالها را یک بساز، سپس حاصلضربها را جمع کن. برای توضیح مفهومی بیشتر به راهنمای متغیر تصادفی و امید ریاضی برگرد.