سه شرط اصلی
وجود f(a) | وجود lim f(x) | برابری lim f(x) با f(a)
۱. چندجملهای
آیا f(x)=x³−2x+1 در x=2 پیوسته است؟
پاسخ
بله. چندجملهای در همهٔ اعداد حقیقی پیوسته است و حد در ۲ با f(2)=۵ برابر است.
۲. محدودیت دامنه
تابع f(x)=1/(x−4) در چه نقطهای پیوسته نیست؟
پاسخ
در x=4 تعریف نشده است؛ در سایر نقاط دامنه پیوسته است.
۳. حفرهٔ قابل رفع
f(x)=(x²−1)/(x−1) برای x≠1 و f(1)=5 است. آیا در ۱ پیوسته است؟
پاسخ
حد عبارت سادهشده x+1 در ۱ برابر ۲ است، اما f(1)=۵؛ پس پیوسته نیست.
۴. رفع ناپیوستگی
در سؤال ۳، مقدار f(1) را چه عددی قرار دهیم تا تابع پیوسته شود؟
پاسخ
۲، چون باید مقدار تابع با حد برابر شود.
۵. تعیین پارامتر
تابع برای x<2 برابر kx+1 و برای x≥2 برابر x²−1 است. k را طوری بیاب که در ۲ پیوسته باشد.
پاسخ
حد چپ 2k+1 و مقدار و حد راست ۳ است؛ 2k+1=3، پس k=1.
۶. پرش
اگر حد چپ تابع در a برابر ۳ و حد راست برابر ۷ باشد، تغییر f(a) میتواند تابع را پیوسته کند؟
پاسخ
خیر؛ چون حد دوسویه وجود ندارد. تغییر تنها مقدار نقطه، دو حد یکطرفه را برابر نمیکند.
۷. حد موجود، مقدار ناموجود
اگر lim(x→a)f(x)=4 باشد ولی f(a) تعریف نشده باشد، وضعیت چیست و چگونه ممکن است اصلاح شود؟
پاسخ
تابع در a پیوسته نیست. اگر مانع دیگری نباشد، تعریف f(a)=4 ناپیوستگی قابل رفع را برطرف میکند.
۸. نقد پاسخ ناقص
دانشآموز میگوید «چون f(3)=2 است، تابع در ۳ پیوسته است.» چه اطلاعاتی کم است؟
پاسخ
باید وجود حد دوسویه در ۳ و برابری آن با ۲ نیز بررسی شود؛ مقدار تابع بهتنهایی کافی نیست.
خودتصحیح
| معیار | امتیاز |
|---|---|
| مقدار تابع | ۴ |
| حدهای یکطرفه و دوسویه | ۸ |
| برابری و نتیجهگیری | ۸ |
برای هر سؤال سه شرط را حتی اگر کوتاه است جدا بنویس. روش کامل در راهنمای پیوستگی آمده است.