تعریف
f′(a)=lim(h→0) [f(a+h)−f(a)]/h، اگر این حد وجود داشته باشد.
روش کامل در راهنمای تعریف مشتق با حد آمده است.
بخش اول؛ چندجملهای و خطی
سؤال ۱
مشتق f(x)=x² را در a=3 از تعریف بیاب.
پاسخ تشریحی
[(3+h)²−9]/h=(6h+h²)/h=6+h، برای h≠0. حد برابر ۶ است.
سؤال ۲
مشتق f(x)=2x+5 را از تعریف در نقطهٔ دلخواه a حساب کن.
پاسخ تشریحی
[2(a+h)+5−(2a+5)]/h=2h/h=۲. مشتق تابع خطی در همهٔ نقاط ثابت است.
سؤال ۳
برای f(x)=x³، مقدار f′(1) را از تعریف پیدا کن.
پاسخ تشریحی
[(1+h)³−1]/h=(3h+3h²+h³)/h=3+3h+h²؛ حد برابر ۳.
سؤال ۴
تعریف را برای f(x)=x² در نقطهٔ عمومی x ساده کن و تابع مشتق را بساز.
پاسخ تشریحی
[(x+h)²−x²]/h=(2xh+h²)/h=2x+h؛ با h→0، f′(x)=2x.
بخش دوم؛ کسری و رادیکالی
سؤال ۵
مشتق f(x)=1/x را در a=2 از تعریف حساب کن.
پاسخ تشریحی
[1/(2+h)−1/2]/h=[(2−2−h)/(2(2+h))]/h=−1/[2(2+h)]. حد برابر −1/4.
سؤال ۶
برای f(x)=√x، مقدار f′(4) را با مزدوج بیاب.
پاسخ تشریحی
[√(4+h)−2]/h را در مزدوج ضرب میکنیم: 1/[√(4+h)+2]. حد h→0 برابر 1/4.
سؤال ۷
چرا در سؤال رادیکالی، حذف h پیش از ضرب در مزدوج دیده نمیشود؟
پاسخ تشریحی
عامل h در ظاهر صورت نیست. ضرب در مزدوج، صورت را به (4+h)−4=h تبدیل میکند و سپس h برای h≠0 حذف میشود.
بخش سوم؛ وجود مشتق و خطا
سؤال ۸
مشتق f(x)=|x| را در صفر با حدهای یکطرفه بررسی کن.
پاسخ تشریحی
[|h|−0]/h. برای h>0 برابر ۱ و برای h<0 برابر −۱ است؛ چون حدهای یکطرفه برابر نیستند، مشتق در صفر وجود ندارد.
سؤال ۹
دانشآموز در ابتدای تعریف h=0 میگذارد و به 0/0 میرسد. خطا چیست؟
پاسخ تشریحی
h در خارجقسمت فاصلهٔ دو نقطه و پیش از حد ناصفر است. 0/0 فقط شکل نامعین را نشان میدهد؛ باید عبارت برای h≠0 ساده و سپس حد گرفته شود.
سؤال ۱۰
نتیجهٔ تعریف مشتق چه معنای هندسی دارد؟
پاسخ تشریحی
حد شیب خطهای قاطع هنگام نزدیکشدن نقطهٔ دوم به نقطهٔ اول است؛ اگر وجود داشته باشد، شیب خط مماس و نرخ لحظهای تغییر را میدهد.
خودتصحیح
- a و h را درست در تابع جایگذاری کردم.
- تفاضل f(a+h)−f(a) را با پرانتز نوشتم.
- h را فقط با یادآوری h≠0 حذف کردم.
- برای رادیکال از مزدوج و برای چندجملهای از بسط یا تجزیه استفاده کردم.
- پس از سادهسازی حد را گرفتم و با قاعدهٔ مشتق کنترل کردم.
برای تفسیر نتیجه، نمونه سؤال نرخ تغییر را حل کن.