دو ابزار اصلی
اگر دو مثلث مشابه باشند، نسبت ضلعهای متناظر برابر است و نسبت مساحتها مربع نسبت تشابه خواهد بود. در مثلث ABC، اگر D روی AB و E روی AC و DE موازی BC باشد، مثلث ADE با ABC مشابه است.
زاویههای برابر ← ترتیب تشابه ← ضلعهای متناظر ← نسبت مشترک ← طول یا مساحت ← کنترل
سؤال ۱: نسبت مستقیم تالس
در مثلث ABC، نقاط D و E روی AB و AC و DE∥BC هستند. اگر AD=۳، AB=۹ و AE=۴ باشد، AC را بیابید.
پاسخ تشریحی
AD/AB=AE/AC؛ پس ۳/۹=۴/AC و AC=۱۲.
سؤال ۲: ضلع موازی
در همان ساخت، AD=۴، AB=۱۰ و BC=۱۵ است. DE چقدر است؟
پاسخ تشریحی
DE/BC=AD/AB=۴/۱۰؛ بنابراین DE=۱۵×۰٫۴=۶.
سؤال ۳: قطعهٔ باقیمانده
در مثلث ABC با DE∥BC، AD=۵، DB=۳ و AE=۱۰ است. EC را بیابید.
پاسخ تشریحی
AB=۸ و AD/AB=AE/AC؛ ۵/۸=۱۰/AC، پس AC=۱۶ و EC=۱۶−۱۰=۶.
سؤال ۴: تشابه از دو زاویه
در دو مثلث، زاویههای A و D برابر و زاویههای B و E برابرند. چه نتیجهای دربارهٔ زاویه سوم و تشابه میگیریم؟
پاسخ تشریحی
چون مجموع زاویههای هر مثلث برابر است، C و F نیز برابرند؛ پس ABC∼DEF با تناظر A↔D، B↔E و C↔F.
سؤال ۵: ترتیب ضلعهای متناظر
اگر ABC∼DEF و AB=۶، DE=۹ و BC=۸ باشد، EF را بیابید.
پاسخ تشریحی
AB/DE=BC/EF؛ ۶/۹=۸/EF، پس EF=۱۲.
سؤال ۶: محیط
نسبت تشابه مثلث کوچک به بزرگ ۲ به ۵ است. اگر محیط مثلث کوچک ۱۸ باشد، محیط بزرگ چیست؟
پاسخ تشریحی
محیطها نیز با نسبت طولی تغییر میکنند؛ ۱۸×۵/۲=۴۵.
سؤال ۷: مساحت
نسبت ضلعهای متناظر دو مثلث ۳ به ۴ و مساحت مثلث کوچک ۲۷ است. مساحت بزرگ را بیابید.
پاسخ تشریحی
نسبت مساحتها ۹ به ۱۶ است؛ مساحت بزرگ ۲۷×۱۶/۹=۴۸.
سؤال ۸: عکس تالس
در مثلث ABC، D روی AB و E روی AC است. اگر AD/DB=AE/EC باشد، دربارهٔ DE و BC چه نتیجهای میگیریم؟
پاسخ تشریحی
بر اساس عکس قضیهٔ تالس، DE با BC موازی است، به شرط آنکه نقاط روی ضلعهای متناظر همان مثلث باشند.
سؤال ۹: خطای جمع قطعهها
دانشآموز در AD/AB=AE/AC، مقدار AB را فقط DB گذاشته است. خطا را توضیح دهید.
پاسخ تشریحی
AB طول کامل ضلع و برابر AD+DB است. نسبت مثلث کوچک به بزرگ باید قطعهٔ از رأس تا D را بر کل AB تقسیم کند.
سؤال ۱۰: بررسی امکان
دو مثلث ضلعهایی با طولهای ۳، ۴، ۵ و ۶، ۸، ۹ دارند. آیا مشابهاند؟
پاسخ تشریحی
نسبت دو ضلع نخست ۲ است، اما ۹/۵=۱٫۸؛ هر سه نسبت برابر نیستند، پس از معیار سه ضلع مشابه نیستند.
برگهٔ خودتصحیح
ترتیب نام مثلثها، طول کامل ضلع و مربع نسبت مساحت را کنترل کن. برای شرح قضیهها به راهنمای تشابه و تالس برگرد.