روش اجرا: داده، شکل، رابطه
حتی برای سؤال متنی یک شکل ساده بکش، داده‌ها را علامت بزن و قضیه یا رابطه را پیش از جایگذاری بنویس. پاسخ‌های پیشنهادی مسیر اصلی را نشان می‌دهند؛ در برگهٔ تشریحی، دلیل هر تساوی را نیز ثبت کن.
همهٔ نقطه‌ها، عددها و موقعیت‌ها برای تمرین این سایت ساخته شده‌اند. معیار خودتصحیح «شکل، رابطه، محاسبه و کنترل» است.
1. فاصلهٔ دو نقطه
سؤال: فاصلهٔ A(1,2) و B(4,6) را به دست آور.
پاسخ پیشنهادی
اختلاف مؤلفه‌ها 3 و 4 است؛ پس AB=√(3²+4²)=5.
2. نقطهٔ میانی
سؤال: نقطهٔ میانی پاره‌خطی با دو سر A(−2,4) و B(6,0) چیست؟
پاسخ پیشنهادی
میانگین مؤلفه‌ها را می‌گیریم: ((−2+6)/2,(4+0)/2)=(2,2).
3. معادلهٔ خط
سؤال: خطی با شیب 2 از نقطهٔ (1,3) می‌گذرد. معادله را بنویس.
پاسخ پیشنهادی
با فرم نقطه‌شیب y−3=2(x−1) و پس از ساده‌سازی y=2x+1.
4. خط‌های عمود
سؤال: شیب خطی 3 است. شیب یک خط عمود بر آن چند است؟
پاسخ پیشنهادی
برای شیب‌های تعریف‌شده، حاصل‌ضرب شیب دو خط عمود −1 است؛ پس شیب خط دوم −1/3 خواهد بود.
5. معادلهٔ دایره
سؤال: مرکز دایره (2,−1) و شعاع آن 3 است. معادلهٔ دایره را بنویس.
پاسخ پیشنهادی
با فرم (x−a)²+(y−b)²=r² داریم (x−2)²+(y+1)²=9.
6. بردار
سؤال: اگر u=(2,−1) و v=(−3,4) باشد، u+v را پیدا کن.
پاسخ پیشنهادی
مؤلفه‌های هم‌نام جمع می‌شوند: u+v=(2−3,−1+4)=(−1,3).
7. تشابه مثلث‌ها
سؤال: دو مثلث متشابه‌اند و نسبت ضلع‌های مثلث دوم به اول 3 است. اگر مساحت اول 8 باشد، مساحت دوم چند است؟
پاسخ پیشنهادی
مساحت با مربع نسبت طول‌ها تغییر می‌کند؛ نسبت مساحت 3²=9 است، پس مساحت دوم 72 می‌شود.
8. قضیهٔ تالس
سؤال: سه خط موازی دو خط مورب را قطع کرده‌اند. روی خط اول دو پاره‌خط متوالی 4 و 6 و روی خط دوم پاره‌خط متناظر اول 10 است. پاره‌خط متناظر دوم را بیاب.
پاسخ پیشنهادی
نسبت پاره‌خط‌های متناظر برابر است: 4/6=10/x. پس 4x=60 و x=15.
9. مماس و شعاع
سؤال: چرا شعاع دایره در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است و این داده چه کاربردی دارد؟
پاسخ پیشنهادی
این رابطه یک زاویهٔ قائمه می‌سازد. با افزودن مرکز و نقطهٔ تماس به شکل، می‌توان از فیثاغورس یا روابط مثلث قائم برای یافتن طول‌های مجهول استفاده کرد.
10. اثبات کوتاه
سؤال: در مثلث متساوی‌الساقین ABC با AB=AC، نیمساز زاویهٔ A ضلع BC را در D قطع می‌کند. ثابت کن BD=DC.
پاسخ پیشنهادی
در دو مثلث ABD و ACD داریم AB=AC، AD مشترک و ∠BAD=∠DAC. پس دو مثلث به حالت ضلع‌زاویه‌ضلع هم‌نهشت‌اند و در نتیجه ضلع‌های متناظر BD و DC برابرند.
نتیجه را چطور خودتصحیح کنی؟
برای هر سؤال یک امتیاز به شکل یا داده‌گذاری، یک امتیاز به رابطه، یک امتیاز به محاسبه و یک امتیاز به کنترل بده. در اثبات، فرض و حکم را جدا کن و هر نتیجه را به یک داده یا قضیه وصل کن.