۱۰ نمونه سؤال ضرب داخلی؛
مولفه‌های متناظر را ضرب و سپس جمع کن

رابطه‌های کاربرگ

برای u=(u₁,u₂) و v=(v₁,v₂)، ضرب داخلی u₁v₁+u₂v₂ و اندازهٔ u برابر √(u₁²+u₂²) است.

سؤال ۱: ضرب داخلی

برای u=(2,3) و v=(4,−1)، u·v را بیابید.

پاسخ: 2×4+3×(−1)=5.

سؤال ۲: اندازه

اندازهٔ بردار (3,4) چیست؟

پاسخ: √(9+16)=5.

سؤال ۳: عمودبودن

آیا (1,2) و (−2,1) عمودند؟

پاسخ: ضرب داخلی −2+2=0 است؛ بله، دو بردار ناصفر عمود هستند.

سؤال ۴: زاویهٔ تند یا باز

اگر ضرب داخلی دو بردار ناصفر مثبت باشد، زاویه چه نوعی است؟

پاسخ: cosθ مثبت و زاویه میان 0 و 90 درجه، یعنی تند است.

سؤال ۵: زاویهٔ باز

اگر u·v منفی باشد چه نتیجه‌ای می‌گیریم؟

پاسخ: cosθ منفی و زاویهٔ میان دو بردار باز است.

سؤال ۶: بردارهای هم‌جهت

زاویهٔ (1,2) و (2,4) چیست؟

پاسخ: بردار دوم دو برابر اول و هم‌جهت است؛ زاویه 0°.

سؤال ۷: خلاف‌جهت

زاویهٔ (1,−1) و (−2,2) چیست؟

پاسخ: بردار دوم −2 برابر اول است؛ زاویه 180°.

سؤال ۸: زاویهٔ دقیق

برای u=(1,0) و v=(1,1)، cosθ و θ را بیابید.

پاسخ: u·v=1، |u|=1 و |v|=√2؛ cosθ=1/√2 و θ=45°.

سؤال ۹: مجهول عمود

اگر (x,2) بر (3,−6) عمود باشد، x چیست؟

پاسخ: 3x−12=0، پس x=4.

سؤال ۱۰: خطای تقسیم

چرا u·v به‌تنهایی همیشه cosθ نیست؟

پاسخ: فقط برای بردارهای یکه چنین است؛ در حالت عمومی باید بر حاصل‌ضرب اندازه‌ها تقسیم شود.

چطور خودتصحیح کنی؟

مولفه‌ها را ستونی جفت کن، اندازه‌ها را مثبت بگیر و بررسی کن مقدار cos بین −1 و 1 باشد. علامت ضرب داخلی باید با نوع زاویه سازگار باشد.