آزمونک مرحلهای
نامعین: +C | معین: جایگذاری کرانها | مساحت: توجه به علامت تابع
۱. تابع اولیهٔ توان
∫(3x²−4x+2)dx را حساب کن.
پاسخ
x³−2x²+2x+C.
۲. کنترل با مشتق
چگونه پاسخ سؤال ۱ را کنترل میکنی؟
پاسخ
از پاسخ مشتق میگیریم؛ باید 3x²−4x+2 به دست آید و مشتق C صفر است.
۳. ثابت از شرط اولیه
اگر F′(x)=2x+1 و F(0)=4 باشد، F(x) را بیاب.
پاسخ
F=x²+x+C. از F(0)=4 نتیجه میشود C=4، پس F=x²+x+4.
۴. انتگرال معین ساده
مقدار ∫₀² x dx را بیاب.
پاسخ
[x²/2]₀²=2.
۵. چندجملهای معین
∫₁³ (2x−1)dx را حساب کن.
پاسخ
[x²−x]₁³=(9−3)−(1−1)=6.
۶. جابهجایی کرانها
اگر ∫₁³ f(x)dx=5 باشد، ∫₃¹ f(x)dx چقدر است؟
پاسخ
−۵؛ جابهجایی کرانها علامت انتگرال را عوض میکند.
۷. شکستن بازه
اگر ∫₀² f(x)dx=3 و ∫₂⁵ f(x)dx=7 باشد، ∫₀⁵ f(x)dx را بیاب.
پاسخ
۳+۷=۱۰.
۸. مساحت بالای محور
ناحیهٔ زیر خط y=2x از x=0 تا x=3 چه مساحتی دارد؟
پاسخ
∫₀³ 2x dx=[x²]₀³=9. چون تابع در بازه نامنفی است، انتگرال با مساحت برابر است.
۹. تابع زیر محور
اگر f(x)=−2 روی بازهٔ [۰،۳] باشد، مقدار انتگرال و مساحت هندسی را جدا بنویس.
پاسخ
انتگرال −۶ و مساحت هندسی ۶ واحد مربع است.
۱۰. تشخیص خطا
دانشآموز نوشته ∫x²dx=2x+C. خطا را اصلاح کن.
پاسخ
در انتگرال توان، یک واحد به توان افزوده و بر توان جدید تقسیم میکنیم؛ پاسخ x³/3+C است.
خودتصحیح
| معیار | امتیاز |
|---|---|
| قاعدهٔ تابع اولیه | ۸ |
| ثابت یا کرانها | ۶ |
| تفسیر مقدار و مساحت | ۶ |
هر پاسخ نامعین را با مشتق کنترل کن. راهنمای کامل در درسنامه انتگرال قرار دارد.