۱۰ نمونه سؤال خط برداری و پارامتری؛
یک نقطه و یک بردار جهت برای ساخت خط کافی است

قالب کاربرگ

(x₀,y₀) نقطه‌ای روی خط و (a,b) بردار جهت ناصفر است. دستگاه پارامتری متناظر x=x₀+at و y=y₀+bt است.

سؤال ۱: ساخت خط

خطی از P=(1,2) با بردار جهت v=(3,−1) می‌گذرد. معادلهٔ برداری را بنویسید.

پاسخ: (x,y)=(1,2)+t(3,−1).

سؤال ۲: فرم پارامتری

معادلهٔ سؤال قبل را به دستگاه پارامتری تبدیل کنید.

پاسخ: x=1+3t و y=2−t.

سؤال ۳: نقطه‌ای روی خط

برای t=2 چه نقطه‌ای روی خط به دست می‌آید؟

پاسخ: x=7 و y=0؛ نقطه (7,0).

سؤال ۴: عضویت نقطه

آیا (4,1) روی خط سؤال اول است؟

پاسخ: از x، t=1 و از y نیز t=1 به دست می‌آید؛ بله.

سؤال ۵: عدم عضویت

آیا (4,0) روی همان خط است؟

پاسخ: از x مقدار t=1 ولی از y مقدار t=2 است؛ یک t مشترک نداریم، پس روی خط نیست.

سؤال ۶: جهت هم‌ارز

آیا (3,−1) و (−6,2) می‌توانند جهت یک خط را نشان دهند؟

پاسخ: بله؛ دومی −2 برابر اول است و دو بردار موازی‌اند.

سؤال ۷: خط از دو نقطه

خط از A=(1,1) و B=(5,3) می‌گذرد. یک بردار جهت و معادله را بیابید.

پاسخ: B−A=(4,2)، پس (x,y)=(1,1)+t(4,2).

سؤال ۸: تبدیل به دکارتی

x=1+2t و y=3−t را به رابطهٔ بدون t تبدیل کنید.

پاسخ: t=(x−1)/2 و y=3−(x−1)/2؛ پس x+2y=7.

سؤال ۹: تقاطع

خط‌های x=t,y=t و x=2−s,y=s را قطع دهید.

پاسخ: t=s و t=2−s؛ پس t=s=1 و نقطهٔ تقاطع (1,1).

سؤال ۱۰: بردار صفر

چرا (0,0) بردار جهت مناسبی برای خط نیست؟

پاسخ: با تغییر t نقطه جابه‌جا نمی‌شود و فقط یک نقطه تولید می‌گردد، نه خط.

چطور خودتصحیح کنی؟

با t=0 نقطهٔ پایه را بازیابی کن، با t=1 نقطهٔ دوم بساز و بردار میان آن‌ها را با جهت مقایسه کن. برای عضویت حتماً t مشترک دو مولفه را بسنج.