روش اجرای آزمونک
در تمرینهای محاسباتی این صفحه، دادهها کل جامعهٔ کوچک فرض شدهاند و واریانس بر تعداد دادهها تقسیم میشود؛ مگر سؤال خلاف آن را بگوید.
جدول x، x−mean و (x−mean)² بسازید.
۱. دادههای یکسان
واریانس دادههای ۵،۵،۵ چیست؟
پاسخ
همهٔ فاصلهها از میانگین صفر است؛ واریانس و انحراف معیار صفرند.
۲. دو دادهٔ متقارن
دادههای ۲ و ۶ را بررسی کنید.
پاسخ
میانگین ۴، انحرافها −۲ و +۲، مربعها ۴ و ۴؛ واریانس ۴ و انحراف معیار ۲.
۳. سه داده
برای ۱،۲،۳ واریانس جامعه را بیابید.
پاسخ
میانگین ۲؛ مربع انحرافها ۱،۰،۱؛ واریانس 2/3 و انحراف معیار √(2/3).
۴. جمع انحرافها
جمع فاصلههای علامتدار از میانگین چه خاصیتی دارد؟
پاسخ
صفر است؛ به همین دلیل برای سنجش پراکندگی انحرافها را مربع میکنیم یا معیار دیگری میسازیم.
۵. مقایسهٔ دو مجموعه
A={4,4,4} و B={2,4,6} میانگین برابر دارند. کدام پراکندگی بیشتر است؟
پاسخ
B؛ در A همهٔ فاصلهها صفر، اما در B فاصلههای غیرصفر وجود دارد.
۶. افزودن ثابت
اگر به همهٔ دادهها ۱۰ اضافه کنیم، واریانس چه میشود؟
پاسخ
تغییر نمیکند؛ میانگین نیز ۱۰ زیاد میشود و فاصلهٔ هر داده از میانگین همان میماند.
۷. ضرب در ثابت
اگر همهٔ دادهها در ۳ ضرب شوند، واریانس و انحراف معیار چگونه تغییر میکنند؟
پاسخ
واریانس ۹ برابر و انحراف معیار ۳ برابر میشود.
۸. واحد
اگر دادهها متر باشند، واحد واریانس و انحراف معیار چیست؟
پاسخ
واریانس متر مربع و انحراف معیار متر است.
۹. اثر دادهٔ دور
افزودن یک مقدار بسیار دور از میانگین معمولاً چه اثری دارد؟
پاسخ
مربع فاصلهٔ بزرگی میسازد و معمولاً واریانس و انحراف معیار را افزایش میدهد؛ مقدار دقیق به کل دادهها بستگی دارد.
۱۰. خطای مخرج
چرا باید تعریف جامعه یا نمونه در سؤال روشن باشد؟
پاسخ
چون مخرج واریانس میتواند بر اساس تعریف جامعه n یا در برآورد نمونه n−1 باشد. باید فرمول خواستهشدهٔ همان سؤال را به کار برد.
خودتصحیح
| مرحله | کنترل |
|---|---|
| میانگین | مرکز داده درست حساب شده؟ |
| انحراف | x−mean با علامت نوشته شده؟ |
| مربع | همهٔ فاصلهها مربع شدهاند؟ |
| مخرج | جامعه یا نمونه مطابق سؤال است؟ |
| ریشه | انحراف معیار ریشهٔ واریانس است؟ |
تمرین انتقالی
دو مجموعه با میانگین یکسان و پراکندگی متفاوت بسازید، واریانس هر دو را حساب و نتیجه را با فاصلهٔ نقاط از میانگین توضیح دهید.