عددها و صورتها تمرینیاند. نمادها و دامنهٔ مباحث را با کتاب درسی پایهٔ خودت تطبیق بده.
۱. اصل جمع
سؤال: از شهر الف به ب، ۳ مسیر زمینی و ۲ مسیر ریلیِ جدا وجود دارد. برای انتخاب دقیقاً یک مسیر چند حالت داریم؟
پاسخ پیشنهادی
چون دو دسته ناسازگارند و یک انتخاب انجام میشود، با اصل جمع ۳+۲=۵ حالت داریم.
۲. اصل ضرب
سؤال: رمز دوبخشی از یک حرف میان ۴ حرف و سپس یک رقم میان ۵ رقم ساخته میشود. چند رمز ممکن است؟
پاسخ پیشنهادی
برای هر حرف ۵ انتخاب رقم داریم؛ با اصل ضرب ۴×۵=۲۰ رمز.
۳. جایگشت
سؤال: چهار کتاب متفاوت را چند روش میتوان در یک ردیف چید؟
پاسخ پیشنهادی
۴! برابر ۲۴ روش؛ جایگاهها بهترتیب ۴، ۳، ۲ و ۱ انتخاب دارند.
۴. ترکیب
سؤال: از ۵ نفر، چند گروه دونفره بدون توجه به ترتیب میتوان ساخت؟
پاسخ پیشنهادی
ترکیب ۵ از ۲ برابر ۱۰ است؛ جابهجایی دو عضو گروه حالت تازهای نمیسازد.
۵. استقرای ریاضی
سؤال: دو گام لازم برای اثبات یک گزاره دربارهٔ همهٔ عددهای طبیعی را نام ببر.
پاسخ پیشنهادی
بررسی پایه و گام استقرا: در گام دوم، درستی برای k فرض و درستی برای k+1 از آن نتیجه میشود.
۶. همنهشتی پیمانهای
سؤال: آیا ۳۸ و ۸ به پیمانهٔ ۵ همنهشتاند؟
پاسخ پیشنهادی
بله؛ تفاضل آنها ۳۰ و بر ۵ بخشپذیر است. هر دو نیز باقیماندهٔ ۳ دارند.
۷. الگوریتم اقلیدس
سؤال: ب.م.م ۴۸ و ۱۸ را با تقسیمهای پیاپی بیاب.
پاسخ پیشنهادی
۴۸=۲×۱۸+۱۲، سپس ۱۸=۱×۱۲+۶ و ۱۲=۲×۶؛ آخرین باقیماندهٔ ناصفر ۶ است.
۸. درجهٔ رأس
سؤال: در گراف سادهای درجههای رأسها ۱،۲،۲،۳ است. تعداد یالها را بیاب.
پاسخ پیشنهادی
مجموع درجهها ۸ و برابر دو برابر تعداد یالهاست؛ پس گراف ۴ یال دارد.
۹. مسیر اویلری
سؤال: یک گراف همبند دقیقاً دو رأس با درجهٔ فرد دارد. دربارهٔ مسیر اویلری چه میتوان گفت؟
پاسخ پیشنهادی
مسیر اویلری باز دارد که از یکی از رأسهای فرد آغاز و به دیگری ختم میشود.
۱۰. نقد شمارش
سؤال: دانشآموزی هنگام انتخاب گروه دونفره، AB و BA را دو حالت شمرده است. خطا چیست؟
پاسخ پیشنهادی
در گروه، ترتیب اعضا اهمیت ندارد؛ AB و BA یک زیرمجموعهاند و دو بار شمردن آنها شمارش را دوبرابر میکند.
چطور خودتصحیح کنی؟
فضای حالت، اهمیت ترتیب، امکان تکرار و شرطها را پیش از فرمول بنویس. تمرین بیشتر در نمونه سؤال تألیفی گسسته و راهنمای گراف قرار دارد.